С ноября 1963 по декабрь 1964 года работал на должности следователя следственного отдела Министерства охраны общественного порядка Абхазской ССР. Окончив срочную службу в рядах Советской Армии работал на должности следователя Сухумского горотдела милиции, с мая 1968 года - старший следователь следственного отдела МВД Абхазской ССР, с июня 1974 года переведён на должность следователя прокуратуры г. Сухум.

С 1975 года Анри Михайлович был избран народным судьей г. Сухум, с апреля 1976 назначен председателем народного суда г. Сухум. 7 февраля 1992 года назначен прокурором Абхазской ССР.

15 апреля 1994 года указом президента Ардзинба В.Г. назначен первым Генеральным прокурором Республики Абхазия где на указанной должности проработал до июня 2001 года.

Джергения А.М. являлся заслуженным юристом Абхазской ССР, награждён нагрудным знаком «Почетный работник прокуратуры Абхазия» в апреле 2019 года вручена медаль «25 лет прокуратуре Республики Абхазия». Классный чин - государственный советник юстиции 2 класса.

"Джергения А.М. на протяжении всей своей служебной деятельности снискал к себе большое уважение, его знали и будут помнить как высококвалифицированного, грамотного, опытного оперативного, судебного и интеллигентного государственного деятеля", - отмечается в письме соболезнования.